Законы алгебры буля. Основные законы алгебры логики Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений

Всего имеется пять законов алгебры логики:

1. Закон одинарных элементов

1 * X = X
0 * X = 0
1 + X = 1
0 + X = X

Этот закон алгебры логики непосредственно следует из приведённых выше выражений аксиом алгебры логики.

Верхние два выражения могут быть полезны при построении коммутаторов, ведь подавая на один из входов элемента “2И” логический ноль или единицу можно либо пропускать сигнал на выход, либо формировать на выходе нулевой потенциал.

Второй вариант использования этих выражений заключается в возможности избирательного обнуления определённых разрядов многоразрядного числа. При поразрядном применении операции "И" можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды единичный или нулевой потенциал. Например, требуется обнулить 6, 3 и 1 разряды. Тогда:

В приведённом примере использования законов алгебры логики отчётливо видно, что для обнуления необходимых разрядов в маске (нижнее число) на месте соответствующих разрядов записаны нули, в остальных разрядах записаны единицы. В исходном числе (верхнее число) на месте 6 и 1 разрядов находятся единицы. После выполнения операции "И" на этих местах появляются нули. На месте третьего разряда в исходном числе находится ноль. В результирующем числе на этом месте тоже присутствует ноль. Остальные разряды, как и требовалось по условию задачи, не изменены.

Точно так же при помощи закона одинарных элементов, одного из основных законов алгебры логики, можно записывать единицы в нужные нам разряды. В этом случае необходимо воспользоваться нижними двумя выражениями закона одинарных элементов. При поразрядном применении операции "ИЛИ" можно либо оставлять прежнее значение разряда, либо обнулять его, подавая на соответствующие разряды нулевой или единичный потенциал. Пусть требуется записать единицы в 7 и 6 биты числа. Тогда:

Здесь в маску (нижнее число) мы записали единицы в седьмой и шестой биты. Остальные биты содержат нули, и, следовательно, не могут изменить первоначальное состояние исходного числа, что мы и видим в результирующем числе под чертой.

Первое и последнее выражения закона одинарных элементов позволяют использовать с большим количеством входов в качестве логических элементов с меньшим количеством входов. Для этого неиспользуемые входы в схеме "И" должны быть подключены к источнику питания, как это показано на рисунке 1:

Рисунок 1. Схема "2И-НЕ", реализованная на логическом элементе "3И-НЕ"

В то же самое время неиспользуемые входы в схеме "ИЛИ" в соответствии с законом одинарных элементов должны быть подключены к общему проводу схемы, как это показано на рисунке 2.

Рисунок 2. Схема "НЕ", реализованная на элементе "2И-НЕ"

Следующими законами алгебры логики, вытекающими из аксиом алгебры логики являются законы отрицания.

2. Законы отрицания

a. Закон дополнительных элементов

Выражения этого закона алгебры логики широко используется для минимизации логических схем. Если удаётся выделить из общего выражения логической функции такие подвыражения, то можно сократить необходимое количество входов элементов цифровой схемы, а иногда и вообще свести всё выражение к логической константе.

Еще одним широко используемым законом алгебры логики является закон двойного отрицания.

b. Двойное отрицание

Закон двойного отрицания используется как для упрощения логических выражений (и как следствие упрощения и удешевления цифровых комбинаторных схем), так и для устранения инверсии сигналов после таких логических элементов как "2И-НЕ" и "2ИЛИ-НЕ". В этом случае законы алгебры логики позволяют реализовывать заданные цифровые схемы при помощи ограниченного набора логических элементов.

c. Закон отрицательной логики

Закон отрицательной логики справедлив для любого числа переменных. Этот закон алгебры логики позволяет реализовывать при помощи логических элементов "ИЛИ" и наоборот: реализовывать логическую функцию "ИЛИ" при помощи логических элементов "И". Это особенно полезно в ТТЛ схемотехнике, так как там легко реализовать логические элементы "И", но при этом достаточно сложно логические элементы "ИЛИ". Благодаря закону отрицательной логики можно реализовывать элементы "ИЛИ" на логических элементах "И". На рисунке 3 показана реализация логического элемента "2ИЛИ" на элементе " " и двух инверторах.

Рисунок 3. Логический элемент "2ИЛИ", реализованный на элементе "2И-НЕ" и двух инверторах

То же самое можно сказать и о схеме монтажного "ИЛИ". В случае необходимости его можно превратить в монтажное "И", применив инверторы на входе и выходе этой схемы.

3. Комбинационные законы

Комбинационные законы алгебры логики во многом соответствуют комбинационным законам обычной алгебры, но есть и отличия.

a. закон тавтологии (многократное повторение)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Этот закон алгебры логики позволяет использовать логические элементы с большим количеством входов в качестве логических элементов с меньшим количеством входов. Например, можно реализовать двухвходовую схему "2И" на логическом элементе "3И", как это показано на рисунке 4:

Рисунок 4. Схема "2И-НЕ", реализованная на логическом элементе "3И-НЕ"

или использовать схему "2И-НЕ" в качестве обычного инвертора, как это показано на рисунке 5:

Рисунок 5. Схема "НЕ", реализованная на логическом элементе "2И-НЕ"

Однако следует предупредить, что объединение нескольких входов увеличивает входные токи логического элемента и его ёмкость, что увеличивает ток потребления предыдущих элементов и отрицательно сказывается на быстродействии цифровой схемы в целом.

Для уменьшения числа входов в логическом элементе лучше воспользоваться другим законом алгебры логики — законом одинарных элементов, как это было показано выше.

Продолжим рассмотрение законов алгебры логики:

b. закон переместительности

A + B + C + D = A + C + B + D

c. закон сочетательности

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. закон распределительности

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /докажем это путём раскрытия скобок/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Правило поглощения (одна переменная поглощает другие)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Правило склеивания (выполняется только по одной переменной)

Также как в обычной математике в алгебре логики имеется старшинство операций. При этом первым выполняется:

1. Действие в скобках
2. Операция с одним операндом (одноместная операция) — "НЕ"
3. Конъюнкция — "И"
4. Дизъюнкция — "ИЛИ"
5. Сумма по модулю два.

Операции одного ранга выполняются слева направо в порядке написания логического выражения. Алгебра логики линейна и для неё справедлив принцип суперпозиции.

Литература:

Вместе со статьей "Законы алгебры логики" читают:

Любая логическая схема без памяти полностью описывается таблицей истинности... Для реализации таблицы истинности достаточно рассмотреть только те строки...
http://сайт/digital/SintSxem.php

Декодеры (дешифраторы) позволяют преобразовывать одни виды бинарных кодов в другие. Например...
http://сайт/digital/DC.php

Достаточно часто перед разработчиками цифровой аппаратуры встаёт обратная задача. Требуется преобразовать восьмиричный или десятичный линейный код в...
http://сайт/digital/Coder.php

Мультиплексорами называются устройства, которые позволяют подключать несколько входов к одному выходу...
http://сайт/digital/MS.php

Демультиплексорами называются устройства... Существенным отличием от мультиплексора является...
http://сайт/digital/DMS.php

§4. Равносильные, ТИ и ТЛ формулы алгебры логики. Основные равносильности. (Законы логических операций). Закон двойственности.

Определение.

Две формулы алгебры логики А и В называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний. Равносильность формул будем обозначать знаком º, а запись А ºВ означает, что формулы А и В равносильны.

Формула А называется ТОЖДЕСТВЕННО ИСТИННОЙ (или ТАВТОЛОГИЕЙ), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в неё переменных.

Формула называется ТОЖДЕСТВЕННО ЛОЖНОЙ (или ПРОТИВОРЕЧИЕМ), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в неё переменных.

Между понятиями равносильности и эквивалентности существует следующая связь: если формулы А и В равносильны, то формула А«В – тавтология, и обратно, если формула А«В – тавтология, то формулы А и В равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры логики можно разбить на три группы.

1. Основные равносильности.

Законы идемпотентности.

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

Закон снятия двойного отрицания

законы поглощения

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

Здесь 3, 4, 5, 6 – законы Моргана.

Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4, соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.

Таким образом, в доказательстве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем одну из них: первую.

Так как при одинаковых логических значениях x и y истинными являются формулы https://pandia.ru/text/78/396/images/image018.gif" width="124" height="21">. Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

Пусть теперь x и y имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликаций или . Но при этом будет ложной и конъюнкция .

Таким образом, и в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Из равносительностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией является, например, операция “Штрих Шеффера”. Эта операция обозначается символом ½ left " style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Современные компьютеры, основанные на «древних» электронно-вычислительных машинах, в качестве базовых принципов работы опираются на определенные постулаты. Они называются законы алгебры логики. Впервые подобная дисциплина была описана (конечно, не столь подробно, как в современном виде) древнегреческим ученым Аристотелем.

Представляя собой отдельный раздел математики, в рамках которого изучается исчисление высказываний, алгебра логики имеет ряд четко выстроенных выводов и заключений.

С тем чтобы лучше разобраться в теме, разберем понятия, которые помогут в дальнейшем узнать законы алгебры логики.

Пожалуй, основной термин в изучаемой дисциплине - высказывание. Это некое утверждение, которое не может быть одновременно ложным и истинным. Ему всегда присуща лишь одна из этих характеристик. При этом условно принято истинности придавать значение 1, ложности - 0, а само высказывание называть некой A, B, C. Иначе говоря, формула A=1 означает, что высказывание А истинно. С высказываниями можно поступать самым различным образом. Вкратце рассмотрим те действия, которые можно с ними совершать. Отметим также, что законы алгебры логики невозможно усвоить, не зная этих правил.

1. Дизъюнкция двух высказываний - результат операции «или». Может быть или ложной, или истинной. Используется символ «v».

2. Конъюнкция. Результатом подобного действия, совершаемого с двумя высказываниями, станет новое лишь в случае, когда оба исходных высказывания истинны. Используется операция «и», символ «^».

3. Импликация. Операция «если А, то В». Результатом является высказывание, ложное лишь в случае истинности А и ложности В. Применяется символ «->».

4. Эквиваленция. Операция «A тогда и только тогда В, когда». Данное высказывание истинно в случаях, когда обе переменные имеют одинаковые оценки. Используется символ «<->».

Существует также ряд операций, близких к импликации, но в данной статье они рассмотрены не будут.

Теперь подробным образом рассмотрим основные законы алгебры логики:

1. Коммутативный или переместительный гласит, что перемена мест логических слагаемых в операциях конъюнкции или дизъюнкции на результате не сказывается.

2. Сочетательный или ассоциативный. Согласно этому закону, переменные в операциях конъюнкции или дизъюнкции можно объединять в группы.

3. Распределительный или дистрибутивный. Суть закона в том, что одинаковые переменные в уравнениях можно вынести за скобки, не изменив логики.

4. Закон де Моргана (инверсии или отрицания). Отрицание операции конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицания исходных переменных. Отрицание от дизъюнкции, в свою очередь, равно конъюнкции отрицания тех же переменных.

5. Двойное отрицание. Отрицание некоего высказывания дважды дает в результате исходное высказывание, трижды - его отрицание.

6. Закон идемпотентности выглядит следующим образом для логического сложения: x v x v x v x = x; для умножения: x^x^x^=x.

7. Закон непротиворечия гласит: два высказывания, если они противоречивы, одновременно быть истинными не могут.

8. Закон исключения третьего. Среди двух противоречивых высказываний одно - всегда истинное, другое - ложное, третьего не дано.

9. Закон поглощения можно записать таким образом для логического сложения: x v (x^y)=x, для умножения: x^ (x v y)=x.

10. Закон склеивания. Две соседние конъюнкции способны склеиться, образовав конъюнкцию меньшего ранга. При этом та переменная, по которой исходные конъюнкции склеивались, исчезает. Пример для логического сложения:

(x^y) v (-x^y)=y.

Мы рассмотрели лишь наиболее используемые законы алгебры логики, которых по факту может быть многим больше, поскольку нередко логические уравнения приобретают длинный и витиеватый вид, сократить который можно, применив ряд схожих законов.

Как правило, для удобства подсчета и выявления результатов используются специальные таблицы. Все существующие законы алгебры логики, таблица для которых имеет общую структуру сеточного прямоугольника, расписывают, распределяя каждую переменную в отдельную клеточку. Чем больше уравнение, тем проще с ним справиться, используя таблицы.

Если рассматривать приложение исчисления высказываний для анализа и оптимизации контактно-релейных схем, схем автоматики и других приложений и, зная. что уменьшение числа элементов и/или связей приводит к повышению надёжности устройств, использующих эти схемы, то становится очевидным важность изучения таких формул в дискретной математике, которые позволяют произвести оптимизацию самой формулы.

К законам, позволяющим уменьшать элементы и операции логических высказываний, относятся законы поглощения и склеивания.

Закон поглощения:

для логического сложения: А  (A & B) = A ;

для логического умножения: A & (A  B) = A .

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

8. Правило склеивания

; (2.11)
. (2.12) Доказательство (2.11): . Доказательство(2.12):

9. Закон обобщённого склеивания . (2.13) . (2.14) Доказательства(2.13): Доказательство (2.14). Раскроем скобки сначала левой части равенства (2.14) а, затем, правой его части. ; .

9. Правило де Моргана

Законы де Моргана (правила де Моргана ) - логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания.

История и определение

Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:

not (P and Q) = (not P) or (not Q)

not (P or Q) = (not P) and (not Q)

Обычная запись этих законов в формальной логике:

в теории множеств:

Формулы де-Моргана применимы при любом числе аргументов. Они иллюстрируют глубокую взаимную симметрию операций И и ИЛИ: если операция И избирательно реагирует на совпадение прямых сигналов, то операция ИЛИ так же избирательно реагирует на совпадение их инверсий. Элемент ИЛИ прозрачен для любого сигнала, элемент И - для любой инверсии. Пользуясь формулами де-Моргана, можно легко переводить логические схемы из базиса НЕ, И, ИЛИ, в котором человеку привычнее всего мыслить и составлять исходные логические выражения, в инвертирующие базисы, которые эффективнее всего реализуются интегральной технологией.

10.Стрелка Пирса

Стрелка Пирса (логическое «ИЛИ-НЕ») высказываний a и b - это новое высказывание, которое будет истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Знаком стрелки Пирса является ↓

Значения функции стрелки Пирса представлены в таблице:

Логическим элементом операции стрелки Пирса является:

Стре́лка Пи́рса - бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880-1881 г.г.

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «ни X, ни Y». От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

		X ↓ Y

11. Штрих Ше́ффера - бинарнаялогическая операция,булева функциянад двумя переменными. Введена в рассмотрениеГенри Шефферомв 1913 г. (вотдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова) Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, эквивалентен операции И-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется. Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,

-отрицание

Дизъюнкция

Конъюнкция

Константа 1

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленная 155 серия.

Элемент 2И-НЕ (2-in NAND), реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):

В европейских стандартах принято другое обозначение:

12. Диодные ключи. Общие сведения. Электронный ключ - это устройство, которое может находиться в одном из двух устойчивых состояний: замкнутом или разомкнутом. Основу электронного ключа составляет нелинейный активный элемент (полупроводниковый диод, транзистор, тиристор и др.), работающий в ключевом режиме. По типу используемого нелинейного элемента электронные ключи делятся на диодные, транзисторные, тиристорные и т. д.

Диодные ключи. Простейший тип электронных ключей – диодные ключи. В качестве активных элементов в них используются полупроводниковые или электровакуумные диоды.

При положительном входном напряжении диод открыт и ток через него

, где - прямое сопротивление диода.

Выходное напряжение

.

Обычно , тогда. При отрицательном входном напряжении ток идет через диод

,

где - обратное сопротивление диода.

При этом выходное напряжение

. Как правило, и. При изменении полярности включения диода график функцииповернется на уголвокруг начала координат.

Диодные ключи не позволяют электрически разделить управляющую и управляемые цепи, что часто требуется на практике. Для переключения (коммутации) напряжений и токов служат т.н. диодные ключи. Эти схемы позволяют при подаче определенного управляющего напряжения замыкать/размыкать электрическую цепь, по которой передается полезный сигнал (ток, напряжение). В простейших ключевых схемах в качестве управляющего может использоваться сам входной сигнал.

Говоря о диодных ключах нельзя не упомянуть особый класс полупроводниковых диодов - p-i-n-диоды. Они применяются только для коммутации ВЧ и СВЧ сигналов. Это возможно благодаря их уникальному свойству - регулируемой проводимости на частоте сигнала. Такое регулирование осуществляется обычно либо при подаче на диод внешнего постоянного напряжения смещения, либо непосредственно уровнем сигнала (для ограничительных p-i-n-диодов).